Ayer en clase de SALT -no quieras saber qué significan las siglas- nos plantearon el famoso problema de las tres puertas o problema de Monty Hall.

Todo un clásico de los problemas de probabilidad que me sonaba mucho de 21 Blackjack, una película muy interesante que incluí en las 300 películas que hay que ver. El fragmento de la película es el siguiente:

Aunque en la película se perfila muy bien el acertijo, voy a explicar con más calma el problema y por qué se llega a esa conclusión (ya que más de uno a quien se lo he planteado no ha quedado muy convencido).

Suponemos que estamos en un concurso de la televisión delante de tres puertas cerradas. Tras una de ellas hay un coche y detrás de las otras dos hay una cabra, pero no sabemos qué hay detrás de cada puerta. Suponemos -sí, ya sé que es mucho suponer- que queremos el coche y no la cabra.

De este modo, el presentador nos pide que elijamos una de las puertas, siendo el premio que recibamos el que se encuentre tras la puerta elegida. A continuación, el presentador abre una de las puertas que no has elegido, habiendo siempre detrás de ella una cabra. Luego, en las otras dos puertas que nos quedan estarán la otra cabra y el automóvil.

Es entonces cuando el presentador te pregunta si quieres cambiar de puerta o mantener la elegida inicialmente. ¿Qué debes hacer? ¿Hay acaso una solución más acertada probabilísticamente?

Bueno, ¿lo has pensado bien? ¿Has decidido con qué puerta quedarte?

Veamos, al principio contábamos con tres puertas, siendo 1/3 nuestra probabilidad de elegir la puerta con el coche y 2/3 la probabilidad de encontrarnos con una cabra.

Ahora bien, una vez ha abierto el presentador la puerta con la cabra es erróneo pensar que la probabilidad de elegir la puerta con el coche es del 50%, ya que el presentador siempre abre la puerta en la que hay una cabra, sabiendo este hecho de antemano. Es decir, el presentador sabe qué hay detrás de cada puerta y siempre abre una puerta que contiene una cabra. Por esta razón las probabilidades iniciales se mantienen.

Contamos pues con seis situaciones posibles que vamos a analizar según cambiemos o no de puerta. Me he tomado la licencia de nombrar a las dos cabras con un par de nombres artísticos: cabra1 y cabra2.

Del 1-3 sin cambiar de puerta. Del 4-6 cambiando.

  1. Elegimos el coche, el presentador te descubre una cabra. No cambias de puerta: GANAS.
  2. Elegimos la cabra1, te descubre la cabra2. No cambias: PIERDES.
  3. Elegimos la cabra2, te descubre la cabra1. No cambias: PIERDES.
  4. Elegimos el coche, te descubre una cabra. Cambias: PIERDES.
  5. Elegimos la cabra1, te descubre la cabra2. Cambias: GANAS.
  6. Elegimos la cabra2, te descubre la cabra1. Cambias: GANAS.

Como puedes ver, cambiando de puerta hay 2/3 de probabilidades de ganar, mientras que manteniéndonos firmes en nuestra decisión del comienzo sólo tendremos 1/3 de opciones de llevarnos el coche. Aunque si quieres la cabra mejor no cambies de puerta.

La clave del problema reside en el hecho de que el presentador conoce qué esconde cada puerta. Si abriera la primera puerta aleatoriamente entonces las probabilidades de ganar sí que serían del 50%.

Y para finalizar un fragmento de la serie Numb3rs en el que también aparece este interesante acertijo:

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